Logic học phái Khắc kỷ

LOGIC HỌC PHÁI KHẮC KỶ

ANTHONY KENNY

Đinh Hồng Phúc dịch

Trích dịch từ: Anthony Kenny. A New History Of Western Philosophy, Vol. 1. Oxford University Press. 2006, trang 136-44. 

Ở thế hệ sau Aristotle, logic tình thái được trường phái Megara phát triển theo một phương cách khá thú vị. Đối với Diodorus Cromos, một mệnh đề là khả hữu khi và chỉ khi nó đúng hoặc sẽ đúng, không khả hữu khi và chỉ khi nó sai và sẽ không bao giờ đúng, và là tất yếu khi và chỉ khi nó đúng và sẽ không bao giờ sai. Giống như Aristotle, Diodorus chấp nhận các mệnh đề về cơ bản là theo thì và có thể thay đổi các giá trị chân lý của chúng; nhưng khác với Aristotle, ông không cần phải phân biệt rạch ròi giữa hiện thực và tiềm năng, vì các tiềm thể được định nghĩa qua tính hiện thực. Các mệnh đề, theo định nghĩa của Diodorus, thay đổi không chỉ giá trị chân lý mà còn thay đổi cả tình thái của chúng. "Đế quốc Ba Tư đã bị hủy diệt" là mệnh đề không đúng nhưng khả hữu khi Socrates còn sống; sau những thắng lợi của Alexandre, mệnh đề ấy đúng và tất yếu (LS 38E). Đối với Diodorus, cũng như đối với Aristotle, tính tất yếu cá biệt áp dụng cho quá khứ.

Một đặc điểm của định nghĩa về khả thể của Diodorus là không có những khả thể nào mãi mãi không được hiện thực hóa: bất cứ khả thể nào cũng đều đúng hoặc một ngày nào đó sẽ đúng. Điều này có vẻ như liên quan đến một hình thức nào đó của thuyết định mệnh: không ai có thể làm điều gì khác ngoài những gì họ thực sự làm. Có vẻ như Diodorus đã ủng hộ lập trường này bằng một lối lập luận được biết đến (mà ta không biết tại sao) với tên gọi là Luận cứ Chủ (Master Argument). Xuất phát từ tiền đề (1) cho rằng các chân lý trong quá khứ là tất yếu, Diodorus đưa ra một luận cứ chứng minh rằng không có điều gì là khả hữu, tức cái hiện tại không đúng và trong tương lai cũng sẽ không đúng. Ta hãy giả định (lấy ví dụ đã được dùng trong các thảo luận cổ đại về luận cứ này) rằng có một cái vỏ trong đáy nước cạn, ta gọi nó là Nautilus, trên thực tế ta sẽ chẳng bao giờ thấy nó. Từ tiền đề này ta có thể xây dựng một luận cứ để biểu thị rằng nó không thể được nhìn thấy.

(2) Nautilus sẽ không bao giờ được nhìn thấy.

(3) Luôn luôn lúc nào cũng là

Nautilus sẽ không bao giờ được nhìn thấy         (hệ quả hợp lý của (2))

(4) Tất yếu là Nautilus  sẽ không bao giờ được nhìn thấy        (từ (4) và (1))

(5) Không thể có chuyện Nautilus sẽ mãi mãi được nhìn thấy        (không tất yếu = không thể có chuyện)

Tuy không biết chính xác hình thức luận cứ của Diodorus, nhưng ta cũng có thể dễ dàng khái quát hóa lối lập luận nảy để biểu thị rằng chỉ những gì sẽ xảy ra mới có thể xảy ra.

Luận cứ này rõ ràng là gần như tương tự với luận cứ ta đã gặp khi thảo luận về cách xử lý của Aristotle về cái ngẫu nhiên trong tương lai. Luận cứ của Diodorus có vẻ như bị lỗi bởi sự hàm hồ trong tiền đề phát biểu rằng các chân lý quá khứ là tất yếu. Chân lý trong quá khứ là gì? Nếu nó có nghĩa là một mệnh đề đúng ở thì quá khứ thì không có gì đảm bảo rằng nó là tất yếu. Để thấy điều này, ta chỉ phải nghĩ đến mệnh đề phủ định ở thì quá khứ, như "Đế quốc Ba Tư đã bị hủy diệt." Mệnh đề này đúng ở thời của Socrates, nhưng nó không tất yếu: nó sẽ thay đổi giá trị chân lý của nó từ đúng thành sai. Nói cách khác, nếu một chân lý quá khứ là mệnh đề được xây dựng đúng bởi một sự kiện trong quá khứ thì các chân lý quá khứ cũng phải tất yếu như vậy; nhưng mệnh đề như (4) không phải là chân lý quá khứ và vì thế không dẫn đến (5).[1]

Học trò của Diodorus là Philo đã từ bỏ các định nghĩa tình thái của thầy mình và giải thích khả thể bằng các thuộc tính nội tại của mệnh đề thay vì bằng các giá trị chân lý theo thời gian. Chúng ta không biết cách giải thích của ông có những bước đi như thế nào, nhưng theo những gì ông giải thích, chúng ta biết rằng một miếng gỗ có thể bị cháy ngay cả khi nó không bao giờ cháy và ngay cả khi nó vùi mình nơi đáy biển (LS 38B)

Đóng góp chính của Philo cho logic học là định nghĩa của ông về mệnh đề điều kiện. Ông nói: "Nếu p thì q" là sai trong trường hợp p đúng và q sai, và đúng trong cả ba trường hợp khả hữu khác. Chân lý của một mệnh đề điều kiện, theo quan niệm này, không phụ thuộc vào nội dung của tiền kiện (the antecedent) hay hậu kiện (the consequent), mà chỉ phụ thuộc vào các giá trị chân lý của chúng. Vì thế, "Nếu bây giờ là ban đêm, thì đấy là ban ngày" sẽ đúng bất cứ khi nào nó nằm trong khoảng thời gian giữa lúc mặt trời mọc và lặn, và căn cứ trên giả định rằng lý thuyết nguyên tử là đúng, thì mệnh đề "Nếu không có nguyên tử thì có nguyên tử" là đúng. Khi xử lý mệnh đề điều kiện theo cách này Philo đã dự đoán trước định nghĩa hàm chân lý của phép tất suy thực chất (material implication) được sử dụng trong logic mệnh đề hiện đại. Tuy nhiên, các giá trị chân lý xác định tính đúng sai của mệnh đề điều kiện của ông đều có thể thay đổi giá trị chân lý. Đây là điểm bất lợi cho việc công thức hóa logic, vì "Nếu p thì q" sẽ không còn là một quy luật logic nữa: "Nếu tôi đang ngồi, thì tôi đang ngồi" hóa ra lại sai, với tư cách là một mệnh đề điều kiện kiểu Philo, nếu tôi đứng nhỏm dậy giữa tiền kiện và hậu kiện.

Tuy nhiên, định nghĩa của Philo xem ra đã được các nhà logic học Khắc kỷ tiếp dụng, họ là những người đầu tiên tiến hành hình thức hóa logic mệnh đề. Khi Aristotle sử dụng các ký tự chữ cái để làm các biến trong văn bản logic học của mình, các nhà Khắc kỷ dùng các con số; sự khác biệt này chẳng có gì đáng kể, nhưng điểm đáng lưu ý hơn là, chỗ nào các biến của Aristotle đại diện cho các hạn từ, thì các biến của phái Khắc kỷ đại diện cho toàn bộ câu, hay đúng hơn cho các yếu tố có thể là một câu hoàn chỉnh. Trong "Nếu sao trời chiếu sáng, thì đấy là ban đêm", cả tiền kiện "sao trời chiếu sáng" lẫn hậu kiện "đấy là ban đêm" không phải là những câu hoàn chỉnh, mà chỉ là hai tổ hợp từ có thể tự mình đứng riêng như là một câu hoàn chỉnh.

Logic mệnh đề của phái Khắc kỷ được gắn vào một lý thuyết về ngôn ngữ và ý nghĩa của câu tường thuật. Các nhà Khắc kỷ phân biệt giữa âm (phone), từ ngữ (lexis) và lời nói (logos). Tiếng gầm của một con thú hay tiếng sóng của sông nước là âm, nhưng chỉ âm nào được phát âm rõ ràng mới gọi là từ ngữ. Tuy nhiên, không phải từ ngữ nào cũng đều có nghĩa: con người có thể phát biểu những từ vô nghĩa như "hey, tơm ni rép". Chỉ những từ ngữ nào có nghĩa mới gọi là nói cái gì đó (D. L. 7. 57). Các âm và từ ngữ của một người Hy Lạp có thể một người man tộc không nói tiếng Hy Lạp dùng để nói, nhưng chỉ có những ai biết ngôn ngữ này thì mới có thể hiểu được ý nghĩa (S. E., M 8. 11-12).

Chữ "logos", tôi dịch là "lời nói", là một từ Hy Lạp có rất nhiều nghĩa: tùy bối cảnh mà nó có nghĩa là "từ ngữ", "câu", "ngôn ngữ", "lý tính". Nó là một danh từ được nối với động từ thông dụng "legein", nghĩa là "nói". Từ nguyên gốc động từ này, các nhà Khắc kỷ đặt ra một từ mới: "lekton". Từ này có nghĩa đen là "cái được nói ra", nhưng tôi sẽ để nguyên không dịch từ này, vì không có chữ tiếng Anh tương đương nào chính xác cả.

Lekton giữ vai trò quan trọng trong cách giải quyết của người Khắc kỷ về sự phân biệt giữa các biểu thị (signs) và các đối tượng mà chúng biểu thị. Xét câu như: "Dion đang đi tản bộ" là mệnh đề có thể đúng hoặc sai. Khi bàn luận loại câu như thế, Sextus Empiricus nói thế này:

Các nhà Khắc kỷ nói rằng ba loại này được nối kết với nhau: nghĩa biểu thị, cái biểu thị và chủ đề (tunchanon). Cái biểu thị là âm, như "Dion", nghĩa biểu thị là nội dung được cái biểu thị ấy miêu tả (deloumenon) ... và chủ đề là đối tượng ở bên ngoài, ví dụ như bản thân Dion. Hai trong ba loại này, âm và chủ đề, là vật chất nhưng một cái thì vô hình, đó chính là nội dung biểu thị, tức lekton, cái có thể đúng hoặt sai. (S. E., M 8. 11-12)

Lekton là cái được nói ra qua câu, cụ thể là Dion đang đi tản bộ. Như Sextus nói, đây không phải là thực thể hữu hình giống như bản thân Dion, hay tên gọi "Dion", hay toàn bộ câu "Dion đang đi tản bộ". Dion, con người này, là chủ đề của câu, tức là đối tượng mà câu đang nói tới. Câu này đúng hay sai tùy thuộc vào việc nội dung nó mô tả có đạt hay không, tức là tùy thuộc vào sự việc Dion có đi tản bộ hay không. Trên cơ sở những đoạn văn như thế này, ta có thể nói lekton là nội dung của câu ở lối trình bày (Seneca, Ep. 117.13).

Tuy nhiên, cần phải có hai điều kiện đáp ứng cho định nghĩa lekton.

Thứ nhất, Diogenes Laertius nói rằng các nhà Khắc kỷ phân biệt lekton tự lập và lekton khiếm khuyết. Ông đưa ra "vị từ chủ động và bị động" để chú giải cho "lekton không hoàn chỉnh", và giải thích rằng một lekton khiếm khuyết là một cái gì đó có lối biểu đạt ngôn ngữ không hoàn chỉnh, như "đang viết". Biểu đạt này gợi ra câu hỏi "Ai"? Do đó, một lekton ắt là cái gì đó được vị từ nói ra, thí dụ ta có thể nói về ai đó rằng anh ta đang viết. Một lekton như thế vẫn là khiếm khuyết bao lâu ta còn chưa làm rõ ta đang nói về ai, tức xác định một chủ đề, thí dụ Socrates (D. L. 7. 63).

Thứ hai, các câu tường thuật không phải là loại câu duy nhất có nội dung có thể dùng làm ví dụ cho các lekton. Cũng có những câu nghi vấn, chia làm hai loại: những câu hỏi có thể được trả lời "có" hay "không", chẳng hạn như "Đây có phải là ban ngày?", và những câu hỏi cần có câu trả lời phức tạp hơn, chẳng hạn như "Anh sống ở đâu?" Ngoài ra, còn có những câu mệnh lệnh, như "Đi tắm đi" và những câu cảm thán như "Đền Parthenon này chẳng phải quá đẹp sao!" (D. L. 7. 66-7)

Thực vậy, định nghĩa của tôi coi lekton là nội dung của câu ở lối tường thuật thực sự chỉ phù hợp với một loại lekton cụ thể, dù đó là loại quan trọng nhất. Đây chính là cái mà các nhà Khắc kỷ gọi là axioma. Nhiều định nghĩa về axioma được nêu ra. "Axioma là cái đúng hoặc sai, một nội dung hoàn chỉnh có thể khẳng định tự mình và bởi mình". "Axioma là cái gì đó có thể được khẳng định hay phủ định tự mình và bởi mình, thí dụ: 'Đó là ban ngày' hay 'Dion đang tản bộ'" (D. L. 7.65). Trong khi một axioma có thể là một khẳng định tự lập, nó không cần được khẳng định. Cả hai axioma nói trên không được khẳng định trong "Nếu Dion đang tản bộ, thì đó là ban ngày". Vì thế một số tác giả dịch chữ này là "cái có thể khẳng định" (assertable). Cách dịch này là chính xác nhưng cồng kềnh, thay vào đó tôi sẽ dùng chữ "mệnh đề" (proposition) để dịch chữ axioma, bởi lẽ nghĩa của chữ Hy Lạp này, như đã giải thích, gần với một trong những nghĩa chuẩn của chữ tiếng Anh. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là mệnh đề của phái Khắc kỷ khác với mệnh đề của Aristotle ở chỗ nó không phải là bản thân câu, mà là cái gì đó trừu tượng được nói ra bằng một câu; và nó khác với mệnh đề mà các nhà logic học hiện đại bàn luận vì nó là cái gì đó có thể thay đổi giá trị chân lý của nó theo thời gian.

Các nhà Khắc kỷ phân biệt mệnh đề đơn giản và mệnh đề không đơn giản. Mệnh đề đơn giản thường được minh họa bằng "Đó là ban ngày" và "Đó là ban đêm", nhưng chúng bao gồm ba loại mệnh đề chủ từ-vị từ, những mệnh đề này khác nhau ở chỗ tùy thuộc vào việc chủ từ của chúng là một từ chỉ thị, một tên riêng hay một đại từ có chức năng như là một lượng từ. "Người ấy đang tản bộ" họ gọi là mệnh đề xác định. "Ai đó đang tản bộ" là mệnh đề không xác định, và "Socrates đang tản bộ" là mệnh đề trung gian. Các mệnh đề không đơn giản là những mệnh đề được hợp thành từ các mệnh đề khác nhau qua một hay một số từ nối (sundesmoi). Đây là một số ví dụ: "Nếu giờ là ngày, thì giờ đang có ánh sáng", "Vì giờ là ban ngày, nên giờ đang có ánh sáng", "Giờ là ban ngày hoặc giờ là ban đêm" (D. L. 7. 71).

Qua cách xử lý các mệnh đề không đơn giản này nhà Khắc kỷ đã tiến rất gần đến phép tính vị từ hiện đại dựa trên các toán tử hàm chân lý. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý tới một số điểm khác biệt.

Trong phép tính hiện đại, ký hiệu phủ định được coi là một toán tử hàm chân lý, ngang hàng với các liên từ như "và", "hoặc/hay" và "nếu". Trái lại, các nhà Khắc kỷ xếp các mệnh đề phủ định vào loại các mệnh đề đơn giản. Tuy nhiên, họ thừa nhận khả thể của việc phủ định một mệnh đề bằng cách gán một ký hiệu phủ định cho toàn bộ mệnh đề chứ không chỉ cho vị từ, cách làm này là cần thiết cho thao tác của phép tính vị từ. Vì thế, họ ưa chuộng cách phát biểu "Không: giờ là ban ngày" hơn là "Giờ không phải ban ngày". Họ còn thừa nhận thêm rằng phủ định có thể được áp dụng cho mệnh đề phức cũng như mệnh đề đơn giản; và họ nhận thấy rằng trong những trường hợp như thế cần phải cẩn thận để thấy được đâu là những mâu thuẫn thực sự và đâu là những mâu thuẫn giả. "Giờ là ban ngày và giờ đang có ánh sáng" không mâu thuẫn với "Giờ là ban ngày và giờ không có ánh sáng". Mâu thuẫn được tạo thành bằng cách gán ký hiệu phủ định ngay từ đầu sao cho nó chi phối được toàn bộ mệnh đề. Do đó, ý niệm phạm vi đã đi vào lịch sử logic học (S.E., M. 8. 88-9).

Một điểm khác nhau nữa giữa logic học Khắc kỷ và logic mệnh đề hiện đại được nhận thấy trong cách xử lý các liên từ."Hoặc" trong logic vị từ hiện đại được xử lý bằng cách quy ước là liên từ tương dung (inclusive connectives): điều này có nghĩa là, "p hoặc q" trở nên đúng nếu p và q đều đúng chứ không phải chỉ khi nào một trong hai là đúng. Các nhà Khắc kỷ dường như chưa quyết định được giữa quan điểm này với cách diễn giải loại trừ theo đó "p hoặc q" là đúng nếu và chỉ nếu một và chỉ một mệnh đề thành phần là đúng. Hơn nữa, các nhà Khắc kỷ cho phép trong số các liên từ cấu tạo nên các mệnh đề phức một số không phải là liên từ hàm chân lý. Một mệnh đề có hình thức "Vì p thì q" là đúng được quy định không phải bởi các giá trị chân lý của các mệnh đề cấu thành.

Đối với liên từ điều kiện "nếu", ta vẫn có điều chưa chắc chắn là các nhà Khắc kỷ chấp nhận cách diễn giải hàm chân lý của Philo về nó đến mức nào, theo đó "Nếu p thì q" là đúng trong mọi trường hợp, chỉ ngoại trừ trường hợp "p" đúng và "q" sai. Sextus Empiricus công nhiên gán quan điểm này cho họ trong đoạn văn sau:

Một mệnh đề điều kiện đúng đắn là mệnh đề không có tiền kiện đúng và hậu kiện sai. Một mệnh đề điều kiện có thể có tiền kiện đúng và hậu kiện đúng, ví dụ: "Nếu giờ là ban ngày thì giờ đang có ánh sáng". Nó có thể có tiền kiện sai và hậu kiện sai, ví dụ: "Nếu trái đất biết bay thì trái đất có cánh". Nó có thể có tiền kiện đúng và hậu kiện sai, ví dụ: "Nếu trái đất tồn tại thì trái đất biết bay". Hoặc nó có thể có tiền kiện sai và hậu kiện đúng, ví dụ: "Nếu trái đất biết bay thì  trái đất tồn tại". Về những điều này họ nói rằng chỉ mệnh đề nào có tiền kiện đúng và hậu kiện sai mới là không đúng đắn, còn tất cả những mệnh đề khác đều đúng đắn. (S.E., P.2. 104-6)

Các ví dụ được dẫn ra ở đây ủng hộ cho khẳng định của Sextus rằng các nhà Khắc kỷ diễn giải mệnh đề điều kiện ở phương diện hàm chân lý. Chính đặc điểm của cách diễn giải như thế mà chân lý của mệnh đề điều kiện không đòi hỏi bất cứ sự liên kết nào giữa nội dung của tiền kiện và nội dung của hậu kiện. Trong khi "Nếu trái đất biết bay thì trái đất có cánh" có thể được liên kết bởi tư tưởng cho rằng bất cứ cái gì biết bay đều có cánh, không có sự nối kết nào như thế giữa "trái đất tồn tại" với "trái đất biết bay". Đương nhiên, các mệnh đề điều kiện mà nhà Khắc kỷ quan tâm là những mệnh đề không có mối liên kết nào như thế cả, như trong ví dụ Sextus đưa ra ngay sau đó: "Nếu cô ấy có sữa, nàng đã thụ thai". Nhưng điều này cũng đúng đối với hầu hết các ví dụ trong giáo trình hiện đại mặc dù logic mà nó triển khai được dựa vững chắc trên cách diễn giải hàm chân lý về hình thức cơ bản của mệnh đề điều kiện.

Mặc khác, có những đoạn văn gợi ý rằng ít ra có một số nhà Khắc kỷ có quan điểm khác nhau về các điều kiện chân lý của mệnh đề điều kiện. Chrysippus được cho là đã nói rằng trong "Nếu p thìq" liên từ này tuyên bố rằng q theo sau p. Điều này được chính ông hay nhà Khắc kỷ nào đó khác chú giải như sau:

Một mệnh đề điều kiện là đúng khi mâu thuẫn của hậu kiện nảy sinh xung đột với tiền kiện. Chẳng hạn, "Nếu giờ là ban ngày thì giờ đang có ánh sáng" là đúng bởi vì "Giờ không có ánh sáng", mâu thuẫn của hậu kiện, xung đột với "Giờ là ban ngày". Một mệnh đề điều kiện là sai khi mâu thuẫn của hậu kiện không xung đột với tiền kiện, chẳng hạn như "Nếu giờ là ban ngày thì Dion đang đi tản bộ" bởi lẽ "Không: Dion đang đi tản bộ" không xung đột với "Giờ là ban ngày". (D.L. 7. 73)

Ở đây rõ ràng là "xung đột" phải quy chiếu tới một kiểu không tương thích nào đó về nội dung giữa tiền kiện và hậu kiện chứ không chỉ là sự khác nhau về giá trị chân lý. Nhưng bản tính chính xác của tính không tương thích này (nó có phải là logic không? ở phương diện thường nghiệm nó có được phát hiện ra không?) vẫn còn chưa rõ ràng.

May thay, không nhất thiết phải giải quyết những thứ không chắc chắn này để trình bày và đánh giá lý thuyết suy luận của phái Khắc kỷ. Trong khi Aristotle trình bày mỗi một tam đoạn luận của mình bằng cách liệt kê các chân lý điều kiện tất yếu tương ứng với chúng, các nhà Khắc kỷ lại trình bày các luận cứ của họ dưới dạng đồ thức suy luận (inference schemata), đôi khi sử dụng các con số làm các biến và đôi khi dùng các ví dụ chuẩn mực, và đôi khi pha trộn cả hai cách như trong "Nếu Plato còn sống, thì Plato đang thở, Nhưng cái thứ nhất, do đó cái thứ hai". Hầu hết các nhà Khắc kỷ đều nói rằng một suy luận phải bao gồm tiền đề thứ nhất (lemma), tiền đề thứ hai (prolepsis) và kết luận (epiphora). Số ít còn lại cho rằng một suy luận đôi khi có thể chỉ có một tiền đề mà thôi (D. L. 7. 76).

Tiêu chí để xác định tính hợp lệ của một suy luận tương tự với tiêu chí do Chrysippus đưa ra để xét giá trị chân lý của một suy luận điều kiện. Suy luận là hợp lệ (perantikos) nếu mâu thuẫn của kết luận xung đột với sự kết hợp của các tiền đề; nếu không có xung đột thì suy luận không hợp lệ. Một suy luận không hợp lệ điển hình là "Nếu giờ là ban ngày thì giờ có ánh sáng. Nhưng giờ là ban ngày. Do đó, Dion đang đi tản bộ" (D. L. 7. 77). Ngày nay chúng ta đã quen cách phân biệt giữa các suy luận hợp lệ (valid inference) và các suy luận có cơ sở vững chắc (sound inference). Một suy luận có thể hợp lệ nhưng không có cơ sở vững chắc nếu một hay nhiều tiền đề của nó không đúng. Các nhà Khắc kỷ cũng đề xuất một cách phân biệt tương tự, nhưng dùng chữ Hy Lạp thay cho chữ " đúng" làalethes, tương ứng với "có cơ sở vững chắc" và "sai" tương ứng với "không có cơ sở vững chắc". Theo lời họ, một suy luận không có cơ sở vững chắc nếu nó không hợp lệ hoặc nó chứa sai lầm nào đó trong tiền đề (D.L. 7. 70).

Các suy luận xuất hiện trong nhiều hình thức khác nhau, gọi là các "luận thức" (moods). Chrisyppus liệt kê năm hình thức cơ bản của suy luận hợp lệ, hay "các luận thức không thể chứng minh" (D.L. 7. 79). Chúng được trình bày như sau, sử dụng số đếm thay vì số thứ tự.

(A) Nếu 1 thì 2, nhưng 1; do đó 2.

(B) Nếu 1 thì 2, nhưng không 2; do đó không 1.

(C) Không cả 1 lẫn 2; nhưng 1; do đó không 2.

(D) 1 hoặc 2; nhưng 1; do đó không 2.

(E) 1 hoặc 2; nhưng không 2; do đó 1.

Chrysippus tin rằng mọi suy luận hợp lệ có thể được quy về các hình thức nguyên thủy này, và trong nhiều công trình đã thất lạc của mình, có vẻ như ông đã chứng minh nhiều định lý quy giản các luận thức diễn sinh và phức tạp hơn thành những dạng cấu trúc đơn giản. Vì thế, nếu xét

(F) Nếu 1, thì nếu 1 thì 2; nhưng 1; do đó 2,

ta có thể cho thấy đây là một đồ thức suy luận hợp lệ bằng cách xuất phát từ các hình thức nguyên thủy này tương ứng với (A) "Nếu 1 thì 2", và sau đó lại sử dụng luận thức (A) để suy, từ kết luận này và tiền đề "2" (S.E., M 8. 234-6).

Thoạt nhìn, năm đồ thức nguyên thủy của Chrysippus không tạo thành một cơ sở hoàn chỉnh và cũng không tạo thành một cơ sở không thể quy giản trong phép tính vị từ. Không có một mệnh đề nguyên thủy nào dùng để biện minh cho suy luận về "p" từ "cả p lẫn q"; chắc chắn đây là do miễn cưỡng xem xét các suy luận chỉ có một tiền đề. Bốn đồ thức nguyên thủy là hợp lệ chỉ khi ta gán cách diễn giải loại trừ cho liên từ "hoặc"; nhưng nếu như vậy thì ta đâu cần đến chúng, vì bất cứ suy luận nào mà cách diễn giải ấy làm cho hợp lệ đã được luận thức (C) làm cho hợp lệ rồi.

Giai đoạn cuối thời cổ đại, logic học của Aristotle và logic học của phái Khắc kỷ được coi là đối địch nhau, và tuy các tác phẩm của các nhà Khắc kỷ đã không còn, nhưng chúng ta vẫn còn nhiều chứng cứ về những cuộc luận chiến giữa những người ủng hộ của hai hệ thống này. Nhìn lại hàng thiên niên kỷ qua, chúng ta có thể thấy rằng về đại thể các hệ thống này không tương thích nhau, chúng hình thành nên các lĩnh vực khác nhau của logic học, mỗi một hệ thống đều là tiền thân của những hướng phát triển hiện đại khác nhau nhưng bổ sung nhau trong phép tính mệnh đề và phép tính vị từ.